一、Otsu 的基本思想（类间方差最大）#

假设一幅灰度图中只有两类像素：

前景：目标（如文字、物体）
背景：不是目标的部分

我们要找一个灰度阈值 $t$ ，把图像分成两类：

类 0（背景）：灰度 $[0,t]$
类 1（前景）：灰度 $[t+1,L-1]$ ，其中 $L$ 是灰度级数（一般为 256）

Otsu 的思想：找到使类间方差（两类之间差异）最大的阈值。

二、数学公式（单阈值 Otsu）#

设灰度级为 $0,1,\ldots,L-1$ ，直方图为 $h(i)$ ，总像素数为 $N$ 。

概率分布：
$p_i=\frac{h(i)}{N},\qquad i=0,\ldots,L-1$
给定阈值 $t$ ，两类像素的概率（权重）：
$\omega_0(t)=\sum_{i=0}^{t}p_i,\qquad \omega_1(t)=\sum_{i=t+1}^{L-1}p_i$
两类的平均灰度：
$\mu_0(t)=\frac{1}{\omega_0(t)}\sum_{i=0}^{t}i\,p_i,\qquad \mu_1(t)=\frac{1}{\omega_1(t)}\sum_{i=t+1}^{L-1}i\,p_i$
图像整体平均灰度：
$\mu_T=\sum_{i=0}^{L-1}i\,p_i$
类间方差（between-class variance）定义为：
$\sigma_B^2(t)=\omega_0(t)\bigl(\mu_0(t)-\mu_T\bigr)^2 +\omega_1(t)\bigl(\mu_1(t)-\mu_T\bigr)^2$

常用等价形式：

\sigma_B^2(t)=\omega_0(t)\,\omega_1(t)\bigl(\mu_0(t)-\mu_1(t)\bigr)^2

算法目标：

t^*=\operatorname*{arg\,max}_{t}\sigma_B^2(t)

三、Otsu 算法实现步骤（单阈值）#

计算图像灰度直方图 $h(i)$ ，并归一化得到 $p_i$ 。
利用前缀和快速计算 $\omega_0(t)$ 、 $\omega_1(t)$ 、 $\mu_0(t)$ 、 $\mu_1(t)$ 与 $\mu_T$ 。
对每一个可能的阈值 $t$ （0 到 $L-2$ ）计算类间方差 $\sigma_B^2(t)$ 。
取类间方差最大的 $t$ 作为 Otsu 阈值。
按此阈值对图像进行二值化：
$g(x,y)=\begin{cases} 0, & f(x,y)\le t,\\[4pt] 255, & f(x,y)>t. \end{cases}$

四、Matlab 示例代码#

1. 使用 Matlab 自带 Otsu（`graythresh` + `imbinarize`）#

1
% 读入图像（灰度图）
2
I = imread('input.png');
3
if size(I, 3) == 3
4
    I = rgb2gray(I);   % 若为彩色图像，转为灰度
5
end
6

7
% Matlab 的 Otsu 阈值：graythresh 返回的是 [0,1] 之间的归一化阈值
8
level = graythresh(I);
9

10
% 二值化
11
BW = imbinarize(I, level);
12

13
% 显示结果
14
figure;
15
subplot(1,2,1); imshow(I);  title('Original');
16
subplot(1,2,2); imshow(BW); title(['Otsu (graythresh) level = ', num2str(level)]);

graythresh 的实现就是 Otsu 单阈值算法。注意它返回的是归一化阈值（相对于 0–1），实际灰度阈值为 T = level * 255。

2. 手写 Otsu 算法（示例实现）#

下面这段代码不依赖 graythresh，按公式自己算一遍阈值。

1
% 读入图像
2
I = imread('input.png');
3
if size(I,3) == 3
4
    I = rgb2gray(I);
5
end
6

7
% 转 double 方便计算（也可以不转）
8
I = double(I);
9

10
% 参数
11
L = 256;              % 灰度级数 0~255
12
N = numel(I);         % 像素总数
13

14
% 1. 计算直方图 h(i)
15
[counts, ~] = imhist(uint8(I), L);   % counts: 256x1
16
p = counts / N;                      % 概率分布 p_i
17

18
% 2. 累计概率 ω(k) 和 累计均值 μ(k)
19
omega = cumsum(p);                   % ω_k
20
mu_k  = cumsum((0:L-1)' .* p);       % μ_k 的分子部分
21
mu_T  = mu_k(end);                   % 总均值 μ_T
22

23
% 3. 计算每个可能阈值 t 的类间方差 σ_B^2(t)
24
sigma_b2 = zeros(L, 1);
25
for t = 1:L
26
    if omega(t) == 0 || omega(t) == 1
27
        sigma_b2(t) = 0;
28
    else
29
        sigma_b2(t) = (mu_T * omega(t) - mu_k(t))^2 / (omega(t) * (1 - omega(t)));
30
    end
31
end
32

33
% 4. 找到最大类间方差对应的阈值 t*
34
[~, idx] = max(sigma_b2);
35
T = idx - 1;      % Matlab 索引从 1 开始，对应灰度 0~255，所以减 1
36

37
fprintf('Otsu threshold = %d\n', T);
38

39
% 5. 按 T 进行二值化
40
BW_manual = I > T;
41

42
% 显示结果
43
figure;
44
subplot(1,3,1); imshow(uint8(I));      title('Original');
45
subplot(1,3,2); imshow(BW_manual);     title(['Manual Otsu, T = ', num2str(T)]);
46
subplot(1,3,3); imhist(uint8(I));      hold on;
47
line([T T], ylim, 'LineWidth', 2);     title('Histogram with Otsu T');

五、Otsu 算法的特点#

优点#

无参数：不需要手工指定阈值，自动从数据中估计；
实现简单：只涉及直方图、累积和，计算高效；
对于前景和背景灰度分布差异较明显、近似双峰的图像效果很好；
被广泛集成到 OpenCV、Matlab 等库中，工程实践非常常见。

局限性#

默认是单阈值二类分割，如果图像存在多类（多峰直方图）会不够理想；
假设背景和前景在直方图上区分明显，如果图像对比度很低或噪声很多，效果会下降；
标准 Otsu 是全局阈值，对光照不均匀的图像效果一般（可用局部/自适应方法改进）。

六、常见扩展与变体#

多阈值 Otsu（Multi-level Otsu）
不只找一个阈值，而是找多个阈值 $t_1,t_2,\ldots$ ，将灰度分成多类，每个类之间的类间方差总和最大。
计算复杂度会显著增加（阈值组合数量多），常配合搜索优化或启发式算法。
二维 Otsu（2D Otsu）
不只考虑像素本身的灰度，还加入邻域平均、梯度等信息，用二维直方图计算最佳阈值，能更好对抗噪声，但运算量更大。
局部/块级 Otsu
将图像分成小块，对每块单独使用 Otsu 得到局部阈值，适用于光照不均、阴影较重的场景。
与其它方法组合
如先做滤波、直方图均衡或对数变换，再用 Otsu；或 Otsu 与形态学处理一起使用，提高分割质量。

音乐

一、Otsu 的基本思想（类间方差最大）#

二、数学公式（单阈值 Otsu）#

三、Otsu 算法实现步骤（单阈值）#

四、Matlab 示例代码#

1. 使用 Matlab 自带 Otsu（`graythresh` + `imbinarize`）#

2. 手写 Otsu 算法（示例实现）#

五、Otsu 算法的特点#

优点#

局限性#

六、常见扩展与变体#

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音乐

Otsu 算法

一、Otsu 的基本思想（类间方差最大）#

二、数学公式（单阈值 Otsu）#

三、Otsu 算法实现步骤（单阈值）#

四、Matlab 示例代码#

1. 使用 Matlab 自带 Otsu（graythresh + imbinarize）#

2. 手写 Otsu 算法（示例实现）#

五、Otsu 算法的特点#

优点#

局限性#

六、常见扩展与变体#

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1. 使用 Matlab 自带 Otsu（`graythresh` + `imbinarize`）#